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A counterexample in the theory of linear singularly perturbed systems

Naulin, Raúl (1991) A counterexample in the theory of linear singularly perturbed systems. Revista Colombiana de Matemáticas; Vol. 25, núm. 1-4 (1991); 95-102 0034-7426, 25 (1-4). pp. 95-102. ISSN 2357-4100

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URL oficial: http://revistas.unal.edu.co/index.php/recolma/arti...

Resumen

In this note we compare the bounded solutions of the linear singularly perturbed system ε X' = A (t) x + f (t), with the solutions of the algebraic system A (t) x + f (t) = 0.  Here A and  f  are bounded C1 functions with bounded derivatives. We assume that the eigenvalues of A (t) satisfy | R e λ (t )| ≥ y > 0. It is known that for small ε, the following estimate is valid hasta ||kε (f) + A-1 f || ≤  εL || f ||1, where kε(f) denotes the bounded solution of ε X'  = A(t)x +f (t), || f || = sup R| f(t)|, || f ||1 : = || f || +|| f´ ||  and L is a constant. We prove that this estimate cannot be replaced by ||kε (f) + A-1 f || ≤  εL || f ||. Futhermore, if, instead of the condition that A be C1, we require that the function be bounded and Lipschitz continuous, we show that the same estimate, ||kε (f) + A-1 || ≤  εL || f ||1, can be obtained., En esta nota se comparan las soluciones acotadas del sistema lineal singularmente perturbado ε X' = A (t) x + f (t), con las soluciones del sistema algebráico A (t) x + f (t) = 0. Aquí  A y f  son funciones acotadas de clase C1, con derivadas acotadas. Suponemos además que los valores propios de A (t) satisfacen la condición | R e λ (t)| ≥ y > 0. Es sabido que para ϵ C1 y ε suficientemente pequeños vale la siguiente estimación: ||kε (f) + A-1 || ≤  εL || f ||1, donde kε (f) denota la única solución acotada de ε X'  = A(t)x +f (t), || f || = sup R| f(t)|, || f ||1 : = || f || +|| f´ || y L es una constante que no depende de f ni de ε.  Probaremos que esta estimación no puede ser extendida hasta ||kε (f) + A-1 f || ≤  εL || f ||. Además, si en lugar de exigir que A sea de clase C1 pedimos que A sea una función de Lipschitz acotada, entonces sigue siendo válida la estimación ||kε (f) + A-1 || ≤  εL || f ||1.

Tipo de documento:Artículo - Article
Palabras clave:Bounded solutions, system linear algebraic system; bounded functions; Lipschitz function, Soluciones acotadas, sistema lineal, sistema algebráico, funciones acotadas, función de Lipschitz
Temática:5 Ciencias naturales y matemáticas / Science > 51 Matemáticas / Mathematics
Unidad administrativa:Revistas electrónicas UN > Revista Colombiana de Matemáticas
Código ID:33531
Enviado por : Dirección Nacional de Bibliotecas STECNICO
Enviado el día :01 Julio 2014 09:30
Ultima modificación:21 Septiembre 2018 16:23
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